@necomancer 请问你是不是想说 取 X=(0,1),E=[0.5,1)。则 E 在 X 上闭集，但是 E 在 R 上不是紧致。因此令 p=1 ，此时 p 不属于 E ，而 d(p,E)不大于 0 。

如果是这样，这里面有个问题。此时 E 只是相对 X 是闭集。E 相对 R 不是闭集。而距离函数是定义在 R 上的。对应 4.16 定理。显然函数 f 是定义在度量空间 X 上。因此用 X 上的相对闭集来挑战定义在 R 上的距离函数似乎并不合理。我结合公开课中前后文的意思，似乎老师也不是这么比较的。

我猜测老师的意思还是指 E 相对于某度量空间空间(比如度量空间 X)是闭集，而距离函数 d(p,E)=inf{d(p,q),q∈E}，且该函数也是定义在度量空间 X 上。二者在同一空间的前提下，再回答 E 是闭集，d(p,E)还一定大于 0 的问题。

以上是我的猜测，如果你觉得哪里不对，还请指正！谢谢！

@necomancer 谢谢你的回复。按照你的例子，E 在 X 上不是闭集啊！ X 中的 1 作为 E 的极限点并不属于 E ，所以 E 不是 X 的相对闭集。

其次想在 k 维实数空间有界闭集，但不是紧集的例子也不可能实现吧？海涅–博雷尔定理使得 k 维实空间下的闭有界集合都是紧集。

@Alex222222222222 多谢解答。我明白了。
话说这个网站的 markdown 究竟是哪种标准。我试了几种不同的 latex 标准都无法正常显示！

@necomancer 谢谢你的回复。我说一下我的想法，烦请你指出哪里错了。
1 ，而 U(c,η)又是包含在不断缩小的闭区间套[an,bn]中———这句话我说的确实不对。
2 ，证明过程确实使用了闭区间套！但是闭区间套作为工具仅限于根据初始假设找到无界点 c 。找到点 c 以后，我认为闭区间套的任务就完成了。
3 ，当证明过程说出“因为函数 f 在点 c 连续”这句话时。根据连续函数局部有界性，函数在 U(c,η)有界——>函数在点 c 有界。这与闭区间套推出在点 c 无界矛盾。证毕。

@Rang666 谢谢你的回复

筛选掉的不一定是有界的，至少有一个是无界的（证明第 4 行） U 是有界的不能证明 U 外面就是无界或有界的，----------同意你的说法。可以套用以上证明逻辑对每个闭区间套的“分支”进行证明。最终可以证明点 c1 ，c2 c3…………的邻域内都是有界的。最终证明[a,b]都是有界的。

只能证明 U 内部肯定是有界的，所以必须要有一个更小的区间在 U 里面达成矛盾，前面的证明只是说有这么一个 U 存在，但是不能说明 ab 能精确到 U 内部，所以要构建出来能达到 U 内部的-----------这个没理解你因果逻辑。为什么“只能……肯定是有界的” ，导出“所以……达成矛盾”？

@Rang666 U 是层层缩小的闭区间套筛选出来的“无界”区间，在 U(c,η)属于[a,b]，同时 U(c,η)既有界又无界已经足够到处矛盾了吧？

我不太明白你说的“不代表有一个更小的 ab 区间能嵌在 u 内”的意思。----为什么要找一个更小的 ab 区间嵌在 u 内？这么做的目的是什么？

还有，似乎不需要“证明无限多个 u 一定能覆盖住最大的 ab 区间”，因为哪些被筛选掉的区间，已经是有界区间了！因此才被筛选掉

“u 有界也没法覆盖到 0 不是”。我不明白覆盖到 0 是什么意思？为什么要覆盖到 0 ？

@lance6716 回复三楼
函数在单点有界的条件其实比较弱，只需要在这一点极限存在：（数学分析新讲第一册 p96 ）
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECFsYQ.png

因此如果在某点连续，那必然极限存在。因此也连续（数学分析新讲第一册 P106 ）
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECk3n0.png

在以上定理引理基础上，书中证明区间连续的函数必有界，使用了闭区间套逐渐缩小的方式和反证法思路。（下面两图出自数学分析新讲第一册 P114 ）
我的疑问就是受这个证明的启发产生的。我不用闭区间套逐渐缩小。我直接用反证法假设函数 f 在[a,b]上任意一点 x0 处无界，那么直接与 P106 定理一矛盾.因为 x0 的任意性，所以 f 在[a,b]上有界。------------书中之所以没用这么简单的反证法，而采用缩小闭区间到一点的方法。说明我的思路是错的（逻辑严谨性有问题或有其他错误）。我想知道我错在哪里了。
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECFVJJ.png
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECkg4e.png

@lance6716
如果函数 f 在 X0 点连续，那么它在该点邻近是有界的 ． 这是一 个局部性质对于在闭区间连续的函数，我们来讨论相应的整体性质——————《数学分析新讲》第一册 第三章，第二节 2.b

而且我说的不是“函数在某个点上有界”。我说的是在某点连续的函数在该点“邻域”有界。

@halfdb 谢谢你的解答。为了验证一下我是否真的理解你的回答。我再叙述一下，请你看看我是否准确的理解了你的回答？

α<γ<β 推出 γ∈J-------------这个结论是无需证明的！因为这是命题给出的条件“介于α和β之间的任何实数γ也一定属于 J”。是证明的起点！

这个证明的思路是利用“命题条件”+“确界定义”。来说明“任意” γ∈(A,B)这个 “有前提条件” 的γ也属于 J ，目的是推出(A,B)⊂J 的结论。

@Alex222222222222
这个例子太棒了。无界量是“存在”函数值大于任给的 M 。而无穷大量要求进入去心邻域后，所有函数值都大于任给的 M 。因此 G 是无界量，但不是无穷大量。
请问你是怎么想到这个例子的？

@Alex222222222222
我明白 x_0 是下标的意思。但是下面这段内容你想说明什么？我没太理解。
f(x) = 1/|x|, if x neq 0, f(0) =0, x_0 = 0

@Alex222222222222 谢谢你的回复。
有点没看懂。
1 、x_0 = 0 ------------这个 x_0 是什么？
2 、g(x) = 1|x|-----------这个确定 g(x) = 1|x|？而不是 g(x) = 1/|x|
3 、外国教材的翻译教材------有什么推荐的么？

@Alex222222222222 同意你的说法。
现在的难点在于除了苏德矿微积分。我没有在其他地方找到“无界量”的定义。包括维基百科。数学英汉词典。因此也不知道这个概念的英文专用名词是什么？

@Alex222222222222
关键这两个概念 “分别” 有相反的概念。无穷大量<-->无穷小量 无界量<-->有界量 而且有个性质：有界量*无穷小量=无穷小量

据此推断，无穷大量与无界量应该是不同的概念吧？因为有界量与无穷小量显然是不同的概念！

@Alex222222222222
那么如果仅以苏德矿微积分的截图来看。无界量和无穷大量有区别么？虽然，一个是“存在”，一个是“总存在”。但是似乎没有区别啊！

@Alex222222222222
“第一个你的理解是对的。虽然并不清楚你想问什么。”，其实我只有一个问题，问题是“ 无穷大量与无界量、无界函数三者之间究竟有什么区别？”

在主贴黑体字“问题”后面是通过对《华东师范大学数分》 p65 页例子的讨论来阐述我的困惑。不知道我这么解释是否让问题更清楚了。如果你觉得哪里不清楚，请告诉我，我再补充！

@Alex222222222222 谢谢你的回复
请问“ 我个人对于无穷大量和无界函数的理解是，无界函数的条件是 globally 的，是作用在整个定义域上的。无穷大量是 locally 的，可以理解为是作用在一个点上的。”——————请问你的理解是建立在我问题中引用的“课本截图”之上的么？

@baraja 谢谢回复
1 、在“本地计算机证书”查不到“cloudflare-dns.com ”的证书。这要怎么才能安全的安装这个证书？
2 、关于“不要直接用 1111 和 1001” a 、在 chrome 中设置的 dns “Cloudflare”看不到他的 ip 。虽然它里面写的 1.1.1.1 但是这也可能是产品名吧？那么要怎样才知道 chrome 的 DNS 设置完 cloudflare 后，真实启用的 dns IP 地址是多少？ 我之所有这个怀疑，是因为今天 chrome 可以正常打开国内网站了！所以我猜测 chrome 里开启 cloudflare 后他会不定期更换使用的 DNS 。

3 、如果 chrome 中启用了 cloudflare 的 dns ，同时在网络连接的 TCP/IP 协议中设置了其他 dns 服务器。那么当使用 chrome 访问网络时究竟是哪个 DNS 在起作用？为什么？

@dwdh
Chrome 设置--隐私和安全--安全---使用安全 DNS---选择 DNS 提供商 Cloudflare(1.1.1.1)

在浏览器设置以后还是可以正常打开网页，第一次打开有点慢。这样设置以后很多过去打不开的网页都可以打开了。但是被重点关照的网站还是打不开。现在 1.1.1.1/help 链接也可打开

wireshark 抓 DNS 确实看不到发出真实访问的域名。但是能看到链接 Cloudfare