如果 X 是紧度量空间，那么连续映射 f 映入 Y 空间的 f(X)也是紧的，证明过程的一个问题！

我们讲，直接对 12 作用 f ，并不能得到 13 ，这个中间是缺一步的。我们讲，具体的过程可以如下所示：

对于 12 使用 f 可以得到：
$$
f(X) \in f \(
f^{-1}(V_{a_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{a_m})
\)
$$

对于右边，使用函数基本性质可以得到：
$$
f \( f^{-1}(V_{a_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{a_m}) \)
\in
f \( f^{-1}(V_{a_1}) \) \cup \dots \cup f \( f^{-1}(V_{a_m}) \)
$$

对于右边，因为对于任何 E ，$ f ( f^{-1} (E)) \in E $，所以可得：
$$
f \( f^{-1}(V_{a_1}) \) \cup \dots \cup f \( f^{-1}(V_{a_m}) \)
\in
V_{a_1} \cup \dots \cup V_{a_m}
$$

把这几个属于连在一起即可得 13 。

省略掉那句，就是 f(X) 属于 (f(f^-1(Va1))) 并 (f(f^-1(Va2)))...了。加上了，才能得到式子 13 。

@Alex222222222222 多谢解答。我明白了。
话说这个网站的 markdown 究竟是哪种标准。我试了几种不同的 latex 标准都无法正常显示！

@huzhikuizainali 并不清楚是哪种标准，也有可能是我的 latex 或者 markdown 语法有问题。我是直接手打的，没有试过编译。能看懂就可以。